Отец полагал, что сын пойдет по его стопам, и с малых лет приучал к своей профессии. Раймону часто приходилось спускаться в забой и пробовать себя в роли откатчика. Но в четырнадцать лет его задела сошедшая с рельсов вагонетка с углем. Могло быть и гораздо хуже, однако юный откатчик отделался потерей указательного пальца на левой руке и заявил отцу, что больше не спустится в шахту ни при каких обстоятельствах. Тем более что уже тогда он стал связывать большие надежды с футболом.
Семья Копашевских жила рядом со стадионом местного футбольного клуба. При клубе была детская футбольная школа, которая не прекращала работать даже в годы фашистской оккупации. В ней Раймон занимался с одиннадцати лет, пройдя все возрастные ступени. Когда ему исполнилось восемнадцать, он подписал первый в своей жизни контракт с профессиональным клубом «Анже».
Копа играл на месте правого крайнего нападающего. При небольшом росте он отличался большой скоростью, резкостью в движениях и очень любил играть с защитниками в обводку, буквально уматывая их своими нескончаемыми финтами. Могло даже показаться, что он чересчур увлекается индивидуальной игрой, но после серии финтов следовал неожиданный и очень точный пас партнеру, успевшему занять выгодную позицию. При этом сам Копа забивал не очень много, но приносил много пользы своей команде. Вдобавок он был невероятно вынослив и мог носиться по полю без устали.
Спустя три сезона Копа заинтересовался «Реймс» — один из сильнейших французских клубов того времени. Тренеры оценили его способность выманить на себя сразу нескольких игроков обороны и точным пасом продолжить острую атаку своей команды. Очень быстро Копа стал ведущим клубом «Реймса», а вдобавок и молодежной сборной Франции.
5 октября 1952 года он впервые вышел на поле в составе национальной команды. В следующем году «Реймс» стал чемпионом Франции, а еще через год вместе со сборной Франции Копа отправился на свой первый чемпионат мира 1954 года в Швейцарию.
Для французов он сложился неудачно. Они сыграли лишь два матча, выиграв у мексиканцев, проиграв югославам, и на этом закончили борьбу. Собственно, от сборной Франции никто тогда и не ждал сюрпризов. Бесспорным фаворитом считалась сборная Венгрии с ее блестящими игроками Хидегкути, Пушкашем, Кочишем, вратарем Грошичем. Вот она-то и преподнесла сюрприз, в финале неожиданно проиграв сборной ФРГ, впервые ставшей чемпионом мира.
Зато «Реймс» вскоре добился большего успеха на международной арене, выйдя в 1956 году в финал самого первого розыгрыша Кубка европейских чемпионов. Финальный матч с мадридским «Реалом» проходил в Париже, и тем не менее «родные стены» французам не помогли. Выиграл «Реал» — 4:3. Но поражение «Реймса» было очень почетным, поскольку «Реал» уже тогда скупал лучших игроков, где только мог, и представлял собой, по сути дела, сборную мира, где особенно выделялась аргентинская звезда Альфредо ди Стефано.
Для самого же Копа результат финального матча оказался совершенно неожиданным — президент «Реала» Сантьяго Бернабеу, посмотрев Копа в игре, предложил французу перейти в его клуб. Сумма контракта была очень впечатляющей. Так Раймон Копа оказался в Мадриде, где провел три сезона.
На следующий год он выиграл Кубок европейских чемпионов — теперь уже в составе «Реала», который завоевал его во второй раз подряд. Завоевал и в третий раз, а потом и в четвертый. Причем в финале 1959 года Копа в составе «Реала» пришлось играть против своего родного «Реймса».
Дважды вместе с «Реалом» Копа становился чемпионом Испании. Его полюбили мадридские зрители, его высоко ценил президент клуба Сантьяго Бернабеу. И все-таки годы, проведенные в «Реале», Копа оценивал как не самые лучшие в своей карьере. Он привык быть футбольным солистом, а в мадридском клубе ему приходилось играть не на привычном для себя месте, а подыгрывать нападающим из глубины поля. В том же 1959 году Копа решил вернуться в «Реймс».
За плечами у него уже был чемпионат мира 1958 года в Швеции, где сборная Франции добилась большого успеха, завоевав третье место. Французы показывали блестящую, яркую, очень результативную игру. Сборную Парагвая, например, разгромили в групповом турнире со счетом 7:3. В четвертьфинале забили четыре «сухих» мяча сборной Северной Ирландии.
В полуфинальном матче, правда, сильнее оказались будущие чемпионы мира — бразильцы, победившие со счетом 5:2. Три мяча забил в ворота сборной Франции юный Пеле. Но в матче за третье место французы вновь были сверхрезультативны — матч со сборной ФРГ закончился со счетом 6:3.