Районом исследования на этот раз была уже не Восточная, а Западная Арктика. Субсидировали новую экспедицию три норвежских капиталиста — Аксель Хейберг и братья Эллеф и Амунд Рингнесы. Первоначальный план, разработанный по их просьбе Нансеном, был прост: идти на север от Баффинова залива «через проливы и вдоль северного берега Гренландии возможно дальше, пока не придется остановиться на зимовку».
Получив через Нансена такое предложение, Свердруп заявил: «Высоко на севере на карте немало белых пятен, и я охотно закрашу их в норвежский цвет». Экспедиция взяла с собой провианта на пять лет (на 16 человек экипажа). В июле «Фрам» вошел в Баффинов залив, в середине августа он был в проливе Смит, но у северного выхода из него вынужден был из-за непроходимых льдов остановиться на зимовку у острова Элсмира.
В середине зимы 1898–1899 годов Свердруп и его спутники совершали только сравнительно короткие охотничьи экскурсии на остров Элсмира: там, недалеко от места зимовки «Фрама», паслись стада мускусных быков. В эту зиму умер врач экспедиции.
Остров Элсмира был в то время почти не исследован. На карту — очень неточную — были нанесены только его восточное и северное побережье. Иногда он изображался как двойной остров, разделенный приблизительно у 79° северной широты «проливом Хейса»; к северу от этого мнимого пролива на карте располагались открытые американцами Земля Гриннелла и Земля Гранта с нанесенными пунктиром (то есть предположительно) западными берегами, к югу — открытая англичанами Земля Элсмира с совершенно неизвестным западным берегом и «Норт-Линкольн», непосредственно прилегающий к проливу Джонс. Свердруп убедился уже в сентябре 1899 года, когда совершил первый поход по проливу в лодке на запад от места зимовки, что на карте много погрешностей. В этот раз он продвинулся только до 84° западной долготы, так как был остановлен льдами, но все же открыл два больших фьорда на южном побережье острова Элсмира.
С наступлением зимы Свердруп с пятью спутниками снова отправился на запад на санях с собачьей упряжкой. На этот раз он продвинулся до 90° западной долготы, где берег круто поворачивал на север. В апреле 1899 года Свердруп и зоолог экспедиции датчанин Эдвард Бай исследовали «пролив Хейса». От вершины Флаглерфьорда (западная ветвь залива Бьюкенен) они шли на запад по забитой льдом долине, перевалили небольшую возвышенность, и перед ними неожиданно открылся широкий, покрытый льдом фьорд. Свердруп назвал его в честь своего спутника Бай-фьорд. Путешественники достигли западного берега острова Элсмира. Новооткрытый фьорд простирался на десятки километров в широтном направлении и впадал в другой, «далеко вдающийся в сушу глубокий фьорд», имевший в основном меридиональное направление. Вскоре было доказано, что этот «другой фьорд» — на самом деле пролив, и он был назван Эврика. А за ним Свердруп и Бай отчетливо видели «большую горную цепь высотою несколько тысяч футов, с заполненными снегом расселинами и черными обрывами, с зубчатыми вершинами и дикими пропастями». Это был гористый участок восточного берега очень большого острова. Позднее Свердруп назвал его — в честь главного «покровителя» экспедиции — островом Аксель-Хейберг. В мае-июне картограф экспедиции Гуннар Исаксен и матрос Уве Браскеруд исследовали обширную полосу острова Элсмир к югу от Бай-фьорда и подтвердили наличие «другого большого фьорда» меридионального направления, то есть пролива Эврика.
Ледовые условия в Бассейне Кейна в летнюю навигацию 1899 года продолжали оставаться очень неблагоприятными, и Свердруп, отчаявшись пробиться к северу, в конце августа принял ответственное решение повернуть на юг и войти в пролив Джонс 1 сентября «Фрам» остановился на вторую зимовку в одном из фьордов южного берега Элсмира. Как увидим ниже, это вынужденное отступление привело Свердрупа к очень важным открытиям в Американском Арктическом архипелаге.
Пролив Джонс посещался иногда морскими экспедициями и китобоями, но даже к концу XIX века он был лишь одним из очень крупных фьордов. Таким образом, было обойдено все южное побережье Элсмира.
Во время этого санного похода Свердруп впервые увидел узкий пролив между полуостровом Симмонс и противолежащим небольшим островом (Норт-Кент), а в проливе «громады торосов, уносимых мощным приливо-отливным течением с ужасающей скоростью в бешеном водовороте». Он дал проливу название «Адские ворота», в переводе на английский «Хелл-Гейт» (так и на наших картах).